Анализ техники. Обратный маятник.

Кроме изучения энергетического баланса, нашелся еще один, необычный подход к описанию горнолыжной техники, также НЕ связанный с движениями в шарнирной системе, соответствующей частям тела лыжника. Он основан на модели перевернутого маятника, называемого также "обратным маятником", или "маятником Уитни".
Это очень интересный объект теоретической механики, исходно задача Уитни формулировалась так: предположим, что на тележке установлен перевернутый материальный маятник, тележка движется прямолинейно, но НЕ равномерно. Требуется найти исходное положение маятника, такое, что он НЕ упадет на тележку, если заранее известна зависимость скорости от времени, при непрерывности ее 2-й производной.


Задача Уитни, до сих пор интересует математиков, но намного важней обратная задача: динамическое управление движением тележки, такое, что маятник сохраняет заданное исходное положение, или колеблется около него. Эта задача важна для робототехники, навигации, автоматизации производства, ориентации космических аппаратов, она также реализуется и при обычной ходьбе.
Но задачу можно обобщить: на маятник с 2-мя степенями свободы, опора которого двигается уже по произвольной, криволинейной траектории, с переменной скоростью, но также при условии непрерывности 2-х производных. Самый простой пример обобщенного обратного маятника: поставим на ладонь длинный стержень, и будем удерживать его в неустойчивом положении, двигая рукой по произвольной траектории.
Если обобщать дальше, то можно сделать маятник с переменной длиной: при этом его собственная частота будет меняться, задача становится намного сложней. Это уже общая модель неустойчивого равновесия механической системы, например человека на канате. Но эту задачу также можно поставить по другому: обеспечить равновесие маятника, при неравномерном движении опоры по заданной криволинейной траектории, за счет активного изменения наклона и длины маятника. Мы видим: в такой постановке, задача полностью соответствует движению горнолыжника по трассе!
Выяснилось: что еще в 1973 году, польский математик, Януш Моравский описал механику горнолыжника с помощью обратного маятника, но эта работа была забыта на 40 лет.


Модель Я.Моравского была не совершенной: он не учитывал боковое проскальзывание опоры маятника, которое было необходимым в горнолыжной технике начала 1970-х годов. Но у современных спортсменов высокого уровня, техника уже не связана с проскальзыванием, и модель более точно соответствует реальности.
Новые исследования обратного маятника начались с решения узкой, практической задачи: упростить проведение экспериментов по изучению горнолыжной техники. Обычно, для изучения движений горнолыжников, необходимо непрерывно фиксировать его положение, и множество сил, действующих на лыжи, и самого лыжника, требуется сложное оборудование и долгая подготовка экспериментов.

В 2013 году, Матиас Гилгиен , известный специалист по лыжной механике, доказал: если известна траектория центра масс относительно поверхности снега, то по модели обобщенного обратного маятника можно вычислить траекторию лыж, и также все действующие силы во время спуска. В результате, все сложное измерительное оборудование можно заменить обычным GPS-навигатором!
Эксперимент проводился с геодезическим навигатором, работавшим по методу дифференциальной навигации, с точностью определения координат: 1 см в горизонтальной плоскости, и 2 см по вертикали. Использовалась также подробная 3D-модель местности, полученная с помощью геодезического сканера. Сейчас, для некоторых районов США и Европы, в открытом доступе, есть аналогичные по точности спутниковые 3D-карты, зона их покрытия быстро увеличивается.


С учетом микро-рельефа, непрерывно меняющегося на склоне, точность высот, составляет 10-20 см, те. на порядок ниже точности навигации. Антенна навигатора находилась на шлеме лыжника, положение ЦМ вычислялось на основе предыдущих результатов Роберта Рейда, который выяснил: у спортсменов уровня сборных, ЦМ не отклоняется далеко от прямой, проходящей через середину шеи, и середину расстояния между лыжами. А лыжник, при повороте старается держать голову вертикально, середина шеи находится примерно под антенной. Расстояние "поверхность-ЦМ" всегда составляет примерно 0.45-0.5 расстояния "поверхность-голова", иногда ЦМ может отклоняться от этого положения, но с учетом точности представления поверхности, ошибки в вычислении положения ЦМ, не являются значимыми, сильные отклонения бывают только при грубых ошибках с потерей равновесия.

Если лыжник описывается моделью обобщенного обратного маятника, с переменной длиной, то по известной траектории, и скорости ЦМ относительно поверхности, можно вычислить углы его отклонения от вертикального положения, такие, что маятник не падает. Также можно и получить траекторию опоры: точки на середине расстояния между креплениями лыж. А из положения ЦМ относительно опоры можно получить центровку лыжника в продольном направлении, и наклон к центру поворота, хотя нельзя вычислить положение частей тела и относительную загрузку лыж.
Параллельно с измерениями по GPS, на контрольном участке установили обычное оборудование, которое используется при исследованиях горнолыжной техники методами MOCAP, на основе модели шарнирной системы, с вычислением динамики частей тела по давно проверенным методам. Собранные данные о движении ЦМ затем сравнивались: они оказались очень близки, сильные расхождения есть только на участках между поворотами, на которых длина маятника резко меняется, при разгрузке.

Но задача не сводилась к построению новой модели движения ЦМ, не зависимого от положения лыжника: это никому не нужно! Практическая цель: на основе модели обратного маятника получить внешние силы, действующие на лыжника и лыжи: реакцию поверхности, сопротивление снега, и аэродинамическое сопротивление. Доктор М. Гилгиен и его сотрудники получили уравнения всех сил, и сравнили с значениями, которые вычислялись по динамике частей тела. На графике реакции поверхности, взятом для примера: синяя кривая показывает силу, вычисленную по модели обратного маятника, красная по модели шарнирной системы, в качестве эталона.


Швейцарский ученый, Рольф Адельсбергер, провел аналогичный эксперимент, но измерял также деформацию лыж при спуске, с помощью датчиков, наклеенных на лыжи. Результаты измерений соответствовали силам, которые вычислялись также на основе данных GPS, по методу М.Гилгиена, это доказывает корректность метода.


Словенский математик, Боян Немец, также изучал модель обратного маятника со спортсменами сборной Словении, но установил антенну на шее лыжника, для лучшего приближения положения ЦМ. Он получил уравнение пространственного угла наклона: в зависимости от действующих ускорений и длины маятника.


Мы видим: уравнение намного сложней, чем простые формулы углов, которые обсуждаются постоянно на горнолыжных сайтах! Но это уравнение получено на основе экспериментальных данных, и более точно соответствует реальным процессам, которые происходят при спуске. Была также получена поправка, для точного определения положения ЦМ, но выяснилось: она не очень велика, и укладывается в точность измерений поверхности, как раньше предположил М.Гилгиен.

Профессор Б.Немец также заметил сильные расхождения на участках разгрузки, и предположил: ошибка связана с линейным законом изменения длины маятника. Если ввести продольную упругость, то длина будет изменяться нелинейно, и ошибки резко уменьшатся. Но при этом, маятник получит новую степень свободы: длина будет стремиться к гармоническим колебаниям, это требует полной переработки модели, Б.Немец планирует сделать это в следующих работах. Главная проблема: введение коэффициента упругости, от которого зависит собственная частота продольных колебаний, ведь возможно, что величина коэффициента также не постоянна.


При этом возможно получение нового эффекта: если опора маятника вибрирует в вертикальном направлении, с высокой частотой и маленькой амплитудой, то возникает дополнительная сила, которая удерживает маятник в вертикальном равновесии: это явление обнаружил П.Капица, и определил минимальную частоту колебаний, и их предельную амплитуду. В ответ на единичный удар по упругой поверхности, возникают затухающие колебания, следовательно обратный маятник, установленный на упругой опоре, также будет находиться в равновесии, но очень короткое время после удара: до затухания колебаний. Аналогичное явление возможно при резком изменении нагрузки на лыжи, но их продольная упругость зависит от величины изгиба, задача усложняется еще больше.


Но вычисление сил также не являлось конечной целью: доктор М.Гилгиен получил нагрузки на колени лыжника, которые могут приводить к травмам суставов. Его метод позволяет получить оценку трассы, с точки зрения безопасности, только на основе данных GPS во время контрольных проездов.
Другим направлением является, как всегда, создание инструмента для тренеров, непрерывно отображающего динамику лыжника, которая скрыта от прямого наблюдения: условий равновесия, действующих ускорений и сил. Этот метод не требует сложного, дорогого оборудования, ведь даже очень дорогой приемник GPS в разы дешевле систем MOCAP, или инерциальных датчиков, и намного проще в использовании.

Мы видим: старая идея, описывать горнолыжную технику без связи с движениями лыжника, все таки не забыта, несмотря на появление новых технологий. Возможно, что мы рано попрощались с милыми сферическими конями.

Удачи и равновесия!


ИришкаВ