Ski-Pro.Ru
Клуб любителей горных лыж
ГлавнаяГлавная   ГлавнаяФорумы   ФотоальбомыФотоальбомы   Статьи - горные лыжи и сноубордСтатьи   Горнолыжный атлас мираАтлас   ПоискПоиск   ПользователиПользователи   РегистрацияРегистрация
  • Анализ техники. Кубические сплайны.

    Делюсь новой информацией по необычным свойствам движений тела, и также движений горнолыжников. Результаты могут дать новые подходы к изучению и моделированию горнолыжной техники. В основе этих работ лежит понятие сплайна, важного объекта прикладной математики, но не только: сплайны также являются фундаментальным явлением природы, аналогично соотношениям, выражаемым через число ПИ.
    Важнейший, кубический сплайн - это кривая, по которой изгибается реальный стержень, с определенным модулем упругости, закрепленный в "опорных" точках. Изгиб упругой линейки, по 2-мерному сплайну, давно применялся конструкторами кораблей и самолетов, для получения гладких, обтекаемых контуров, но общая теория разработана после 2-й Мировой Войны.


    Если стержень не может растягиваться или сжиматься, то кривая описывается набором кубических уравнений: каждое уравнение действует на ограниченном сегменте, между соседними опорными точками. Но есть также дополнительные условия: совпадение касательных на краях соседних уравнений, плавное изменение кривизны, без ступенек и разрывов.


    Главное применение кубических сплайнов - это сглаживание данных от измерительных приборов, и вычисление промежуточных значений (интерполяция), когда уравнение зависимости неизвестно. Также они применяются в компьютерной графике, для построения кривых и поверхностей, разновидности сплайнов используются для генерации красивых шрифтов на экранах и принтерах.
    В природе есть множество естественных процессов, которые происходят по кривым кубических сплайнов, особенно процессы в неоднородных средах и полях: так изменяются обороты двигателей при смене режима, траектории космических аппаратов при смене орбиты, распределение температур и т.д. Траектория лыж при карвинге, также является кубическим сплайном, а не синусоидой или дугами окружности, как пишут обычно.
    Но Российский математик, В.Соловьев, нашел новое свойство: он доказал, что коэффициенты уравнений, в последовательности сегментов кубического сплайна, образуют ряд, выражаемый через "золотое сечение", одно из важнейших отношений в природе.

    Китайские ученые, из Дацинского Университета, Лю Сян-Мей и Чао Дан, при разработке MOCAP-системы обнаружили интересное явление. Они использовали сплайн-интерполяцию для вычисления промежуточных положений частей тела, между заданными, опорными кадрами. Оказалось, что погрешность вычисления может сильно изменяться, в зависимости от выбора опорных кадров, но иногда падает почти до 0. Это значит, что траектория не "ложится" на сплайн, а сама является естественным сплайном, аналогично многим природным процессам.
    Ученые предположили: при оптимальном выборе, кадры точно совпадают с моментами времени, когда происходят изменения параметров движения человека, но для каждой части тела есть свой оптимальный набор опорных кадров.
    Можно считать, что в начале каждого движения действует мгновенный, абстрактный "импульс", действующий на единственный параметр траектории, который можно назвать "скорость изменения кривизны" (3-я производная, в математическом смысле, на картинке внизу).


    После пропадания импульса, движение происходит по плавной траектории, определяемой возникшими изменениями, на отрезке времени до следующего движения. Эта модель абсолютно не соответствует реальной работе мышц, но точно описывает процесс.
    Был разработан также метод определения последовательности опорных кадров, которая дает минимальную погрешность сплайна: каждый опорный кадр должен точно соответствовать моменту импульса.
    В результате, движение каждой части тела, относительно сустава, можно описать последовательностью векторов, задающих направление и величину каждого импульса. Но ведь техника , в любом виде спорта, также сводится к правильному выбору направления, величины и времени движений. Значит метод может использоваться для описания техники, тренеры используют аналогичные понятия: направление усилий, величина ("сильней-слабей"), время начала ("раньше-позже").
    Результаты китайских ученых уже используются в медицине: оказалось, что при болезнях и травмах, траектории частей тела больше отклоняются от кривой кубического сплайна, погрешность повышается. Но при этом, "неправильность" движений может быть не видна, и не ощутима человеком.

    Мариана Лаппи, из Норвежской Академии Спорта, получила похожие результаты, при анализе усилий, развиваемых мышцами лыжника. Данные записывались во время спуска, при помощи датчиков, установленных на ногах, метод сплайн-интерполяции использовался только для сглаживания сигнала. Но оказалось, что суммарная ошибка изменяется, также в зависимости от выбора опорных точек: когда они совпадали с моментом начала напряжения мышцы, ошибка резко уменьшалась.
    Мы видим: результаты очень похожи, но ведь они получены на абсолютно разных данных, разного типа и уровня! Это значит, что абстрактный "импульс", по модели китайских ученых, описывает реальный процесс: момент начала напряжения.
    Отсюда следует: тело человека, вместе с мышцами, двигается и деформируется по таким же фундаментальным законам природы, по которым изгибается простой упругий стержень.

    Доктор Роберт Рейд, также использовал сплайновую модель для сравнения траекторий лыж и центра масс лыжника. Он получил идеальную траекторию, по которой должен двигаться ЦМ, при известной траектории лыж: обе кривые описываются кубическими сплайнами, с минимальной погрешностью. Но реальное движение ЦМ может сильно отклоняться от теоретической траектории. Было показано, что отклонение обратно пропорционально уровню лыжника: у профессиональных спортсменов минимально, но у лыжников среднего уровня (intermediate), может быть большим. Также выяснилось, что отклонение зависит от качества подготовки трассы: на ровной жесткой трассе меньше, чем на бугристой, или мягкой.


    Доктор Рейд предположил, что на ЦМ действуют "лишние" силы, возникающие в результате движений рук и тела, которые не соответствуют траектории спуска. Мы все балансируем руками, если хотим пройти по узкой досочке, над землей: когда появляется наклон, то поднимаем или опускаем руку, создавая момент, который направлен в обратную сторону, наклон выпрямляется. Неопытные горнолыжники чаще теряют равновесие и должны балансировать, с помощью рук и тела, а на мягких, или бугристых трассах потеря равновесия происходит чаще, чем на ровных.
    Но начинающие лыжники не могут точно выдерживать усилия, при потере равновесия, балансируют слишком резко и сильно. Силы отдачи, от движений частей тела, суммируются, при этом возникают большие силы: они могут изменять центровку над лыжами, загрузку лыж, или поворачивать лыжника, в зависимости от направления.

    Группа ученых, из Университета Инсбрука, поставила эксперимент, по измерению усилий мышц, для поддержания равновесия: горнолыжники разного уровня, спортсмены и любители, балансировали на измерительной платформе, при этом записывались электрические потенциалы мышц, и вычислялась механическая мощность.
    Оказалось, что спортсмены балансируют при меньшей мощности, чем любители: разница составляет 35-50%, независимо от типа обуви. В этом эксперименте была получена также "раскачка" равновесия: слишком сильные движения выпрямляют наклон, но равновесие опять нарушается, в противоположную сторону, на больший угол!


    В результате не согласованных, лишних движений, ЦМ может иметь траекторию абсолютно другого вида, чем траектория лыж, сильно отклоняясь от оптимальной, энергетически выгодной, но она также описывается кубическим сплайном. Опорные точки соответствуют началу движений, включая "лишние", и приходятся на другие моменты времени. На участках максимальных отклонений возникает большая кривизна, где центробежная сила резко увеличивается, равновесие нарушается сильнее, лыжник опять балансирует, но траектория отклоняется от оптимальной еще больше! Но процесс идет дальше: при слишком сильном отклонении траектории ЦМ, нарушается и траектория лыж, в результате спортсмен тормозит или запаздывает на трассе.
    Мы видим: траектории естественных движений, аналогично многим естественным процессам, описываются кубическими сплайнами, а их главное свойство: отсутствие слишком резких изменений кривизны. При росте уровня техники, спортсмены сами приходят к максимально гладким и плавным траекториям, за счет практики, без формальных доказательств.

    Можно сделать практический вывод для себя: свойство хорошей техники - это отсутствие лишних, резких, не согласованных движений, даже движений руками или головой, которые не связаны с движением лыж! Они смотрятся неряшливо и неестественно, но также создают реальные внешние силы, мешающие балансу и управлению лыжами. Стараемся ездить строго и элегантно: это более красиво, но и более технично!

    Удачи!


    ИришкаВ


    Статья о другой работе доктора Рейда.

    Комментарии 49 Комментарии
    1. Аватар для Skipper
      Эта модель абсолютно не соответствует реальной работе мышц
      Соответствует, как ни удивительно. В ответ на раздражение группа мышечных волокон совершает быстрое сокращение, а затем медленно расслабляется. Статические усилия (о которых так любят вспоминать на лыжных сайтах) совершаются за счет большей частоты: раздражения следуют чаще, чем мышца успевает расслабиться. При частоте около 20-25 Гц (например, при столбняке) развивается так называемый тетанус - мышца становится каменной.
    1. Аватар для ИришкаВ
      Но мышца ведь не управляется единичным импульсом?
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      Но мышца ведь не управляется единичным импульсом?
      Нет, конечно, Иришка! Их до фига, доктор правильно пишет! Если все их зафиксировать и назначить "абстрактными" для значимых групп мышц, которых тоже до фига, то можно наделать более чем до фига опорных кадров, которые позволят подтвердить правоту всех этих учёных. Если же нужно просто снизить уровень ошибок интерполяции, то достаточно в достаточной степени увеличить частоту опорных кадров. Хлопот будет явно меньше.

      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      Отсюда следует: тело человека, вместе с мышцами, двигается и деформируется по таким же фундаментальным законам природы, по которым изгибается простой упругий стержень.
      Я надеюсь, Иришка, что это не Вы написали?
    1. Аватар для ИришкаВ
      Цитата Сообщение от iz3 Посмотреть сообщение
      Их до фига, доктор правильно пишет! Если все их зафиксировать и назначить "абстрактными" для значимых групп мышц, которых тоже до фига, то можно наделать более чем до фига опорных кадров, которые позволят подтвердить правоту всех этих учёных.
      ИМХО не. Если их назначить, искуственно, то модели не будет. А если каждый кадр сделать опорным, то ничего нельзя сказать об общих законах движений, вообще.
      Реальных импульсов дофига, но 3-я производная изменяется мгновенно, единичным "импульсом", абстрактным. ИМХО это происходит в начале движения, те. в начале последоательности реальных, нервных импульсов.

      Цитата Сообщение от iz3 Посмотреть сообщение
      Я надеюсь, Иришка, что это не Вы написали?
      А што?
    1. Аватар для Skipper
      Если я ничего не путаю, кривизна графика в данном случае - это ускорение, и оно пропорционально силе (по дедушке Ньютону). С другой стороны, сила сокращения пропорциональна частоте стимуляции мышцы. Стало быть, кривизна отражает частоту, а "изменение кривизны" (та самая третья производная) отражает изменение частоты. Тогда все правильно: серия нервных импульсов начинается с быстрого нарастания их частоты. Так что, про "абстрактный импульс" сходится.

      Ну а мораль, видимо, такова: едучи на лыжах, не махать руками, ногами и стержнями. Если уж совсем невтерпеж - махать плавно и в такт.
    1. Аватар для ИришкаВ
      Ога! СтержнЯми нинада плззз.
    1. Аватар для iz3
      Иришка! Заносит Вас из любви к науке.
      "Важнеший" кубический сплайн, приведённый на первом рисунке, и есть "реальный" сплайн,поскольку решение уравнения Эйлера, при указанных Вами ограничениях, и есть полином третьей степени. Но является ли он "фундаментальным законом мироздания"?
      В статьях, Вами рассматриваемых, речь идет о математических сплайнах, как о методе апроксимации/интерполяции таблично( или покадрово) заданных данных. В этом смысле кубический сплайн стоит в ряду множества других методов интерполяции, которые в ряде случаев дают лучшие результаты приближения. Достоинствами кубического сплайна, а применяются, в основном, численные методы решения, являются сходимость и устойчивость вычислительного процесса. Но кубический сплайн тоже не универсален, и имеет ряд модификаций, для различного типа приложений.
      Большинство результатов исследований, связанных с нашими телодвижениями, в силу их плавности, хорошо апроксимируются методами кубических сплайнов. И это замечательно. Естественно, тов. учёные стараются снизить ошибки аналитического приближения к реальной картинке, Замечательно, что они нашли опорные точки , которые обеспечивают минимум ошибок. Плохо то, что они привязались к мифическим "абстрактным импульсам" третьей производной, хотя, если уж говорить об импульсах, то они будут уже на 4-ой.
      По моему разумению, все наши мускульные усилия не столь радикальны, чтобы нарушать непрерывность 3-ей производной. Да и Вы с доктором призываете "махать плавно и в такт". Так что момент наступления "абстрактного импульса" следует ещё как-то определить. Ну, допустим, по резкому изменению электрических потенциалов группы мышц (доктор тут может лучше пояснить). А так-то основной метод снижения ошибок апроксимации - увеличение числа опорных точек.
      Но, как бы то ни было, Иришка, любая инерполяция является набором некоторых математических фукций, каждая из которых приближает наблюдаемую на некотором небольшом интервале её изменения. Даже если эти функции есть один и тот же полином - объявлять его "фундаментальным законом природы" я бы не рискнул.
    1. Аватар для ИришкаВ
      ИМХО да: кубические сплайны, лежат "в фундаменте мироздания", они встречаются в очень многих явлениях, разного типа, и в абсолютно разных областях.

      Если процесс ТОЧНО описывается, известной ф-цией, то интерполяция НЕ нужна. Предположим: есть изогнутый стержень, закрепленный в точках: это естесственный сплайн, если точно известны точки, то какая тут интерполяция? Любая точка, на известной кривой, вычисляется, с заданной точностью, любой.
      ИМХО тут также случай, когда функция точно известна: сплайн определяется, как кривая изгиба стержня, дополнительные точки не уменьшают ошибку, а увеличивают! ИМХО самое главное: ошибка интерполяции резко уменьшается, НЕ при добавлении точек, а при их опред. положениях. Но ведь ЭТО было найдено, при анализе движений.
      ИМХО это доказывает: что движение идет, по кривой, близкой к кубическому сплайну.
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      ИМХО да: кубические сплайны, лежат "в фундаменте мироздания", они встречаются в очень многих явлениях, разного типа, и в абсолютно разных областях.
      Ох, Иришка, за что Вы их так полюбили? Одна и та же функция, не имеющая в силу своей сложности (на данном этапе познания) аналитического выражения и заданная таблично на основе экспериментальных данных, может быть апроксимирована различными методами, из которых кубические сплайны не всегда являются оптимальными. По сути, методы интерполяции/апроксимации зависят более от выбора исследователя, который, как правило, разбирается в исследуемом вопросе, но не в методах математической обработки полученных экспериментально данных, и использует для обработки некий привычный прикладной пакет, типа МатЛаба, чтобы эту обработку провести. А там есть уже некоторый выбор - какой инструмент использовать - а это уже дело вкуса исследователя: какие картинки больше понравятся, то и выберут. А если он выберет не кубический сплайн, то что - не видать ему "фундаментального закона"?
      Да и посудите сами, можно ли некую реальную функцию, апроксимированную стыковкой кучи различных кубических полиномов по известным (довольно условно) координатам отдельных точек, считать неким фундаментальным законом, на основе того, что все эти кусочки описываются (различными, в общем случае) полиномами третьей степени?
    1. Аватар для ИришкаВ
      Не понятно: почему Вы все время про апроксимацию или интерполяцию? Возьмем сплайновую линейку, аналогично 1-й картинке: для точного вычисления любой точки, на гибкой пластинке, не нужна интерполяция! Линейка сама изгибается, по такой кривой, которую можно использовать для интерполяции! Линейка материальна, но изогнута по математической кривой, из кучи кубических полиномов, это явление природы. Аналогично, число ПИ: точно не вычисляется, и реально не существует, но проявляется, в многих явлениях природы. Вы ведь не думаете, что ПИ НЕ относится к фудаментальным законам?
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      Не понятно: почему Вы все время про апроксимацию или интерполяцию? ...
      Так потому что именно ими Ваши исследователями и занимаются, чтобы получить аналитическое описание покадрово заданных функций, и их точность этого описания волнует, как это следует из Вашей статьи. Действительно, существует много реальных процессов, хорошо описываемых этими сплайнами, как и изгиб линейки, если закрыть глаза на то, что Вы про неё писали. Так реальных процессов, описываемых экспонентой, куда больше, но никто же не объявляет её фундаментальным законом бытия. И число ПИ - просто геометрическая константа, на закон вряд ли тянет. А то у нас свод законов сильно толстый получится.
    1. Аватар для ИришкаВ
      ИМХО экспонента является, фундаментальным законом бытия. Или приходим к выводу: что математического выражения, для фундаментальных законов НЕ существует, но следовательно: уходим в недоказуемую область. Вы ВЕРИТЕ, что нет, а я ВЕРЮ, что есть.
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      ИМХО экспонента является, фундаментальным законом бытия...
      Ну тогда, Иришка, и спорить не о чем. Каждый сам вправе решеть, что считать фундаментальным, а что нет. В моём понимании - законы это, примерно, то, что тут написано: http://yourlib.net/content/view/4305/54/
    1. Аватар для Skipper
      Какой, однако, интересный филологический диспут. Что-то в нем есть, прошу прощения, от докторской диссертации Арамиса.
      На мой дилетантский взгляд, куда как важнее выяснить: "экспериментальная кривая хорошо апроксимируется математической функцией" или же "экспериментальная кривая полностью соответствует математической функции"? А уж закон оно и насколько фундаментальное - дело десятое.
    1. Аватар для ИришкаВ
      Дык полностью соответствует.

      А если точек натыкать, побольше, то можно любую кривую апроксимировать отрезками прямой. ИМХО плохо пояснила главную мысль.
    1. Аватар для Skipper
      По-моему, дело не в том, что плохо донесла. Лично мне как-то не очень понятно практическое применение всего этого.
      Допустим, все части тела всегда двигаются по известной кривой (хоть бы и по кубическому сплайну) - и замечательно. Что это дает для "анализа техники"?
    1. Аватар для ИришкаВ
      ИМХО главный вывод: если мы знаем направления касательных, в начале-конце поворота, то есть единственная оптимальная траектория, которая определяется для конкретной: скорости, параметров лыж, и массы лыжника. А отколонения от этой кривой, являются ошибками, из за лишних движений.
      И + по отклонениям можно вычислить источник ошибок: какие "лишние" движения делались, и какой частью тела.
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от Skipper Посмотреть сообщение
      А уж закон оно и насколько фундаментальное - дело десятое.
      Sic!
    1. Аватар для iz3
      Цитата Сообщение от Skipper Посмотреть сообщение
      А уж закон оно и насколько фундаментальное - дело десятое.
      Sic!

      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      ИМХО главный вывод: если мы знаем направления касательных, в начале-конце поворота, то есть единственная оптимальная траектория, которая определяется для конкретной: скорости, параметров лыж, и массы лыжника...
      А твкже от состояния снега, покатости склона, расстановки ворот, динамического состояния лыжника в начале-конце, да и ещё много чего добавить можно. Да и оптимальная траектория ЦТ "при известной траектории лыж" - весьма сомнительное определение для оптимального поворота в целом. К тому же, помимо лыж и ЦТ для всех частей тела траектории можно нарисовать, чтобы "лишних" не было. Нарисовать можно, только как им следовать?
      А про практическую пользу учёные сами сказали: повысить точность апроксимации.
    1. Аватар для ИришкаВ
      Не. Где известная траектория лыж? Ее нет, есть ТОЛЬКО направления касательных, на концах области поворота.
      И + почему апроксимация, опять? Если есть аналитическое выражение, то апроксимация НЕ нужна!
      Вот:
      Цитата Сообщение от Skipper Посмотреть сообщение
      "экспериментальная кривая хорошо апроксимируется математической функцией" или же "экспериментальная кривая полностью соответствует математической функции"?
      Цитата Сообщение от ИришкаВ Посмотреть сообщение
      Дык полностью соответствует.
      Ведь ответила жеж: что полностью соответствует, те. при известных касательных, есть аналитическое выражение: для траектории ЦТ, и траектории лыж. Но лыжи, возможно, что с поправкой на снег и неровную поверхность.
      ИМХО это доказано, даже без разбора строгих доказательств, ИМХО более убедительно, чем формулв Каниовского, которым верят, на всех сайтах, как в Библию, или "виртуальные бугры", которые не обоснованы, вообще.
  • Комментарии к статьям

    mister_x

    Что тут скажешь, талантливый и счастливый человек К последнему сообщению

    Сага о лыжнике. Автор Skipper.

    mister_x в 23.09.2017
    mister_x

    Стала Обезьяна президентом ФГСР:D
    СМЕШНО! К последнему сообщению

    Сказка про Обезьяну. Автор Skipper

    mister_x в 23.09.2017
  • Объявления

    Доктор

    Уступлю бронирование на Красной поляне на март

    Автор: Доктор

    Уступлю бронирование на Красной поляне в Эльпида бутик отеле с 26 февраля по 7 марта, двухместный номер с завтраком, оплачены 1 сутки, общая стоимость

    07.01.2018, 14:12 от Доктор К последнему сообщению
    lukina80

    Подбор персонала

    Автор: lukina80

    Занимал Олег Станиславович Верещагин (род. 22/08/1984) в нашем горнолыжном клубе (Новгородская обл.) должность управляющего. Груб, неадекватен и вспыльчив,

    16.09.2017, 22:42 от lukina80 К последнему сообщению
    IgorDaryashin

    Продаю квартиру у горнолыжных склонов

    Автор: IgorDaryashin

    двухуровневая, 5 комн. квартира,
    с сауной и дровяным камином.
    горнолыжные комплексы
    г.Кировск Мурманской области
    3 100 000 руб

    30.06.2017, 16:31 от IgorDaryashin К последнему сообщению
    Messer987

    Продаю камеру GoPro hero 4 silver

    Автор: Messer987

    Продам новую камеру GoPro Hero 4 silver!Все в оригинальной упаковке.
    Так же есть GoPro HERO 4 Session*
    Камеры находятся в Казани.
    (Silver)Цена:23500р.*

    06.06.2017, 01:06 от Messer987 К последнему сообщению
    Xundr

    Продам внутренний фильтр для аквариума от 200 до 300л

    Автор: Xundr

    Добрый вечер всем!
    Продаю внутренний фильтр для аквариума объемом от 200 до 300 литров, описание и все характеристики фильтра можно вот здесь

    29.05.2017, 21:10 от Xundr К последнему сообщению